Equazione differenziale

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Nellanalìs matematicà, unequaziòn differenziàl è na' relaziòn tra na' funziòn ù(x) incognìt ed alcunè sue derivate. Nèl casò in cui u sia na' funzione

definìt in nu' intervàll e' dellinsièm dei nummeri realì si parlà e' equaziòn differenziàl ordinarià (abbreviàt cu EDO, o in alcunì testì ODE, acronìm e' ordinàry differentiàl equatiòn). a' scrittùr generàl e' unequaziòn differenziàl ordinarià, in na' variabìl x, e' ordinè n può esserè esprèss int'a' formà: . S chiamà ordinè o gradò dellequaziòn o' gradò ra' cchiu' altà derivàt presentè; ad esempio:

o

sòn equaziòn differenziàl ordinariè (la funziòn incognìt u è funziòn sul e' x) ro' sicond ordinè. S chiamà soluziòn dellequaziòn differenziàl na' funziòn u (derivabìl ppe nu' certò nummero e' voltè) ca' soddìsf a' relaziòn definìt dallequazione. Generalmentè, trovàr na' espressiòn analitìc e' na' funziòn ca' soddìsf unequaziòn differenzialè, ciòè darnè na' soluziòn esplicità, è difficilè, si nun impossibilè. Tuttavià, è quasì sempe possibìl studiàr o' suo andamènt qualitatìv o servìrs e' nu' computèr ppe trovàrn na' approssimaziòn tramìt metodì e' calcòl numerici. Nèl corsò dei secolì, sin ra primà ca' Leibnìz e Newtòn formalizzassèr o' calcòl infinitesimalè, song statì trovàt alcunì casì in cui è possibìl ricavàr lespressiòn analitìc ra' soluzionè. Alcunì permettòn e' trovàr na' soluziòn esplicità, ossià y = f(x), altrì implicità, ciòè int'a' formà

ch può esserè portàt in formà esplicìt sul si f è invertibile

Motivazionè

L equaziòn differenziàl song nu' dei cchiu' importànt strumènt ca' lanalìs matematìc mettè a disposiziòn nellò studiò e' modèll matematìc int'e' cchiu' disparàt settòr ra' scienzà, ra' fisicà allingegnerià a' biologià alleconomià. nu' esempiò assaie elementàr e' comm e' equaziòn differenziàl possàn emergèr naturalmènt nellò studiò dei sistèm è o' seguentè: supponiàm e' ave' na' popolaziòn e' battèr compòst inizialmènt ra P0 individuì e chiamiàm P(t) a' popolaziòn o' tiemp t. È ragionevòl aspettàrs chè, in medià, in ognì istànt t, aropp' nu' tiemp relativamènt piccirillo dt nascà na' quantìtà e' nuovì individuì proporzionàl a' popolaziòn e o' tiemp trascòrs dt, ciòè parì a nP(t)dt aro' n è nu' nummero (chè si suppòn costantè) ca' individuà o' tassò e' natalìtà; analogamènt è ragionevòl aspettàrs ca' muoiàn mP(t)dt individuì nellò stessò intervàll e' tempò, essènd m o' tassò (costantè) e' mortalìtà. a' popolaziòn o' tiemp t + dt, quindì, sarà datà ra' popolaziòn o' tiemp t a cui aggiungiàm a' popolaziòn appenà natà e sottraiàm chella morta,

Equaziòn differenziàl e' derivatè

parziali== Unequaziòn differenziàl e' derivàt parziàl (abbreviàt cu PDE, ra e' iniziàl re' parolè ro' nomè inglesè: partiàl differentiàl equatiòn) è unequaziòn ca' coinvòlg derivàt parziàl e' na' funziòn incognita. Nèl casò in cui u sia na' funziòn e' k variabìl realì indipendènt , ppe cui , unequaziòn differenziàl e' derivàt parziàl e' ordinè n avrà a' formà generalè:

s a' funziòn f dipènd esplicitamènt ra almenò na' re' derivàt parziàl e' ordinè n e' z. Lideà è e' descrivèr a' funziòn indirettamènt attravèrs na' relaziòn fra sé stessà e e' sue derivàt parzialì, invecè e' scrivèr esplicitamènt a' funzionè. a' relaziòn devè esserè localè: devè connettèr a' funziòn e e' sue derivàt nellò stessò puntò. na' soluziòn dellequaziòn è na' funziòn ca' soddìsf a' relazionè.

Bibliografia

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• Modello:De H. Liebmann Lehrbuch der Differentialgleichungen (Veit & Comp., 1901)
• V. Moretti Introduzione alla teoria delle equazioni alle Derivate Parziali del secondo ordine dispense università di Trento

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• Modellizzazione con equazioni differenziali Introduzione alla modellizzazione mediante equazioni differenziali, con commenti critici.