Equazione diofantea

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n matematicà, unequaziòn diofanteà (chiamàt pure equaziòn diofantinà) è unequaziòn in na' o cchiu' incognìt cu coefficiènt interì e' cui si ricercàn e' soluziòn interè. Laggettìv diofanteò si riferìsc o' matematìc grecò ro' III secolò Diofànt e' Alessandrià, ca' studìò equaziòn e' chistu tipò e fu nu' dei primì matematìc a introdùrr o' simbolìsm nellalgebra.

Elementì[càgna | càgna surgente]

n nomè tradizionàl datò allò studiò e' talì equaziòn è analìs diofanteà, ca' cercà e' da' na' rispòst e' seguènt domandè: s esistàn soluzionì; s esistàn soluziòn oltrè chelle cchiu' facilmènt reperibìl (i.è. ppe ispeziòn direttà); s esistà nu' nummero finitò o' infinìt e' soluzionì; s sia possibilè, pure a livèll teoricò, individuàr nu' elencò e' tuttè e' soluzionì; s sia possibìl calcolàr in pratìc tuttè e' soluziòn in manièr direttà. Il campò dellapprossimaziòn diofanteà si occupà invecè re' disuguagliànz diofanteè: si suppòn nata vota ca' e' variabìl sianò interè, ma alcunì coefficiènt possòn esserè nummeri irrazionalì, e o' segnò e' uguagliànz vienè sostituìt ra limitì inferiòr e superiori.

Storià[càgna | càgna surgente]

L primè notiziè e' problèm diofanteì si trovàn in Indià, a partìr dàll800 à.C. finò o' Medioevò. Tra e' primì matematìc e' cui avimm notizià ca' abbiàn affrontàt problèm e' chistu tipò vi song Baudhayàn e Apastambà; questultìm giunsè a cercàr soluziòn e' equaziòn cu cinquè incognitè. NellAryabhatìy e' Aryabhatà, scrìtt attòrn o' 500 d.C., compàr nu' algorìtm ppe risolvèr lequaziòn diofanteà lineàr àx+by=c. Brahmaguptà, into VII secolò, investìgò alcunì casì dellequaziòn x2 − ny2 = 1, ca' cchiu' tardì divènn notà comm equaziòn e' Pell. Nèl III secolò nu' gràn nummero e' problèm e' chistu tipò compaiòn nellArithmetìc e' Diofantò, tuttì e' sicond o e' terzò gradò. Diofànt applìc pèrò e' suoì metodì solamènt ad equaziòn particolarì, senzà sviluppàr na' teorià generalè. L sua operà vennè riscopèrt ra Pierrè de Fermàt into Seicentò; studiànd lopèr e' Diofantò, eglì còmpì na' seriè e' altrè scopertè, ppe a' maggiòr partè appuntàt senzà dimostraziòn sui margìn ra' sua copià dellArithmeticà; talì scopèrt vennèr in seguìt pubblicàt dal figliò. Tra cheste vi era lenunciàt e' chello ca' fusse diventàt notò comm lultìm teorèm e' Fermàt, ovverò ca' lequaziòn xn + yn = zn nun ha soluziòn ppe n>2; talè congettùr è statà dimostràt solamènt into 1994. Nèl 1900, Davìd Hilbèrt inclùs tra e' ventìtré problèm ca' propòs a' matematìc ro' nuovò secolò nu' (il decimò) ca' riguardàv lesistènz e' nu' algorìtm generàl ppe a' soluziòn e' unequaziòn diofanteà arbitrarià. into 1970 Yùry Matiyasevìch dìmostrò ca' talè algorìtm nun esistè, mostrànd ca' e' insièm diofanteì song precisamènt e' insièm ricorsivamènt enumerabili. Recentementè, o' puntò e' vistà ra' geometrià diofanteà, ca' consìst nellapplicaziòn re' tecnìch ra' geometrià algebrìc a chistu campò, ha continuàt ad ampliarsì; datò ca' trattàr e' equaziòn arbitrariè è nu' vicolò ciecò, lattenziòn si rivòlg e' equaziòn ca' hannò pure nu' significàt geometricò. nu' dei pochì metodì generàl è costituìt dal principiò e' Hassè. a' discès infinità, escogitàt ra Fermàt, è o' metodò tradizionalè, e fu adottàt ampiamènt ppe assaie tempo.

Esempì[càgna | càgna surgente]

L equaziòn diofanteè e' primò gradò (linearì) song oggì ben capitè; lesempiò basè è a' cosiddètt identìtà e' Bézoùt, ovverò lequaziòn ax + by = 1, ca' ha soluziòn si e sul si o' massìm comùn divisòr e' a e b è 1. Un esempiò e' equaziòn diofanteà quadratìc è a' cosiddètt equaziòn e' Pèll, ca' prendè o' nomè dal matematìc inglès Jòhn Pèll. Fu studiàt dapprìm ra Brahmagùpt e in seguìt ra Fermat. Lequaziòn xn + yn = zn, aro' n è nu' parametrò, ha infinìt soluziòn ppe n=2 (le cosiddètt ternè pitagorichè), ppe'tramente' nun ne ha nessùn ppe n>2, comm dimostràt ra Andrèw Wilès into 1994 (ultìm teorèm e' Fermàt). S poi alcunè variabìl compaiòn comm esponentì, lequaziòn diofanteà è dettà esponenzialè. nu' esempiò e' equaziòn e' chistu tipò è x − yb = 1 l cui unicà soluziòn è datà ra x = b =3, y = a =2, comm congetturàt ra Eùgène Charlès Catalàn into 1844 e dimostràt ra Predà Mihăilèsc into 2002.